Behörighetskrav

60 högskolepoäng i matematik. Grundläggande topologi rekommenderas.

Mål

Syftet med kursen är att placera tidigare kurser i infinitesimalkalkyl på stabil teoretisk grund och att fördjupa de där vunna insikterna, samt bereda vägen för ytterligare teoretisk fördjupning i det matematikämnet.

Efter godkänd kurs ska studenten kunna

• beskriva hur de reella talen konstrueras och vilka egenskaper de har;
• förklara differential- och integralkalkylens teoretiska grunder, i vilket inbegrips att återge definitioner, konstruktioner och bevis av viktiga satser;
• redogöra för den grundläggande teorin för metriska rum, speciellt med avseende på funktionsrum;
• tillämpa ovanstående teori i såväl problemlösning som enklare bevisföring.

Innehåll

De reella talens definition och egenskaper. Cauchyföljder. Fullständighet. Egenskaper hos de reella talen: Hopningspunkter, övre och undre limes, öppna och slutna mängder. Kompakthet. Heine-Borels lemma. Kontinuitet. Kontinuerliga funktioner på kompakta mängder. Differentialkalkyl: Medelvärdessatsen och dess konsekvenser. Taylorserier. Integralkalkyl: Riemann-integralens definition och egenskaper. Analysens huvudsats. Metriska rum: Topologi i metriska rum. Funktionsföljder och funktionsserier: Likformig konvergens. Ekvikontinuerliga funktionsfamiljer, Arzelà-Ascolis sats. Stone-Weierstrass sats. Banachs fixpunktsats med tillämpningar. Inversa och implicita funktionssatserna. Rangsatsen.

Undervisning

Föreläsningar och lektioner.

Examination

Skriftligt tentamen vid kursens slut, eventuellt kombinerad med inlämningsuppgifter under kursens gång enligt anvisningar vid kursens start.

Övriga föreskrifter

Kursen kan inte tillgodoräknas i examen tillsammans med Reell analys (1MA088), 5 hp.