Behörighetskrav

120 högskolepoäng med Ordinära differentialekvationer I

Mål

Kursens syfte är att ge insikter om och exempel på hur dynamiska systemmodeller (dvs. differential- och differensekvationer) kan användas för att bättre förstå vissa fenomen inom biologi, fysik, biokemi, ekonomi och sociologi. Fokus ligger på modellformulering, på analys av modeller med utgångspunkt från numeriska lösningar och på att dra slutsatser baserade på utfallen.

Eftersom kursinnehållet är tämligen brett ligger tonvikten i kursen på att fördjupa skickligheten i modellering snarare än på ett fördjupat studium av varje specialområde.

För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna

• formulera viktigare modeller som behandlas i kursen;
• översiktligt redogöra för matematiska metoder och tekniker som utnyttjas för att analysera dessa modeller och förstå i vilka situationer som metoderna är tillämpbara;
• förstå hur man drar slutsatser från en modell;
• använda datorprogram för att undersöka modeller numeriskt;
• lösa standardproblem inom områden som behandlas under kursen.

Innehåll

Kursen består av tre delar valda bland de fyra områden som listas nedan, och i varje del betonas såväl modellbyggandet (tillämpningarna), den matematisk analys (teknikerna) som hur de numeriska lösningarna ökar förståelsen.

En-, två- och tredimensionella dynamiska system

Tillämpningar: Populationstillväxt inom biologi och kemi, rovdjur-bytesmodeller, sjukdomsspridning, beslutsfattande inom grupper, social dynamik och val.

Tekniker: Icke-dimensionalisering, stabilitet hos jämvikter, fasplananalys, störningsteori, separation av tidsskalor, kaos.

Dynamisk spelteori

Tillämpningar: Naturligt urval och evolution inom biologi, utformning av ekonomiska system för bevarandet av gemensamma nyttigheter (t.ex. miljön) och spelteori inom sociologi. Tekniker: Optimering, replikatorekvationer och adaptiv dynamik.

Dynamiska system i hög dimension

Tillämpningar: Termodynamik, magnetisering, eldflugeblixtar, syrsspel, flockbildning hos fåglar och stimbildning hos fiskar. Tekniker: Hamiltonsystem, Isingmodellen, kopplade oscillatorer och Kuramotomodellen, samt självdrivna partikelmodeller.

Rumsliga modeller

Tillämpningar: Sjukdomsspridning och djurpopulationer, spiralvågor i kemiska reaktioner, cellrörelser, utvecklingsbiologi och mönsterbildning. Tekniker: Partiella differentialekvationer, diffusionsekvationer, reaktions-diffusionsekvationer, kemotaxis och cellulära automater.

Undervisning

Föreläsningar, räkneövningar och datalaborationer.

Examination

Skriftligt och eventuellt muntligt prov vid kursens slut. Dessutom kan obligatoriska inlämningsuppgifter, som kombinerar analys med numeriska metoder, förekomma under kursen.