Behörighetskrav

120 hp inklusive 90 hp matematik eller 60 hp matematik och 30 hp beräkningsvetenskap inklusive kurserna Beräkningsvetenskap II och Beräkningsvetenskap III.

Mål

Kursens mål är att ge insikter om och exempel på hur dynamiska systemmodeller (ordinära och partiella differentialekvationer, differensekvationer) kan användas för att förstå vetenskapliga problem. Fokus ligger på modellanalys, baserad både i matematisk teori och numerisk simulering.

Efter godkänd kurs ska studenten kunna:

• redogöra för de matematiska metoder och tekniker som används för att analysera dynamiska systemmodeller och kunna tillämpa dem i givna sammanhang;
• dra korrekta slutsatser från en modell;
• använda datorprogramvara för att undersöka modeller numeriskt;
• numeriskt bestämma invarianta mångfalder och förklara deras betydelse för fasporträttet;
• numeriskt beräkna dynamiska observabler (såsom liapunovexponenter och hausdorffdimension) och förklara deras betydelse.

Innehåll

Kursen är centrerad kring en serie fallstudier. Var och en av dessa kommer att analyseras dels med matematiska tekniker och teori, dels numeriskt. Exempel på sådana är:

Molekylär och cellbiologi. Icke-dimensionalisering. Michaelis-Menten-kinetik. Matchade asymptotiska utvecklingar; modeller av nervsignaler; oscillationer i biokemiska system.

Kopplade oscillatorer. Flöden på cirkeln; drivna och kopplade pendlar; globala bifurkationer; blinkningar hos bananflugan; Kuramotos modell.

Biologisk rörelse. Introduktion till partiella differentialekvationer, diffusionsekvationen; Fisher’s ekvation; travelling wave-solutions; reaktions/diffusionsekvationer och pattern formation; Turing-bifurkationer.

Kaos. Populationsdynamik och endimensionella avbildningar; cobweb-diagram; periodiska fönster; liapunovexponenter.

N-kropparsproblemet.

Undervisning

Föreläsningar och problemlösningstillfällen.

Examination

Inlämningsuppgifter under kursens gång.