Reell analys
Kursplan, Grundnivå, 1MA226
- Kod
- 1MA226
- Utbildningsnivå
- Grundnivå
- Huvudområde(n) med fördjupning
- Matematik G2F
- Betygsskala
- Underkänd (U), godkänd (3), icke utan beröm godkänd (4), med beröm godkänd (5)
- Fastställd av
- Teknisk-naturvetenskapliga fakultetsnämnden, 3 oktober 2018
- Ansvarig institution
- Matematiska institutionen
Behörighetskrav
60 hp matematik.
Mål
Syftet med kursen är att placera tidigare kurser i infinitesimalkalkyl på stabil teoretisk grund och att fördjupa de där vunna insikterna, samt bereda vägen för ytterligare teoretisk fördjupning i det matematikämnet.
Efter godkänd kurs ska studenten kunna
- beskriva hur de reella talen konstrueras och vilka egenskaper de har;
- förklara differential- och integralkalkylens teoretiska grunder, i vilket inbegrips att återge definitioner, konstruktioner och bevis av viktiga satser;
- redogöra för den grundläggande teorin för metriska rum, speciellt med avseende på funktionsrum;
- tillämpa ovanstående teori i såväl problemlösning som enklare bevisföring.
Innehåll
De reella talens definition och egenskaper. Cauchyföljder. Fullständighet. Egenskaper hos de reella talen: Hopningspunkter, övre och undre limes, öppna och slutna mängder. Kompakthet. Heine-Borels lemma. Kontinuitet. Kontinuerliga funktioner på kompakta mängder. Differentialkalkyl: Medelvärdessatsen och dess konsekvenser. Taylorserier. Integralkalkyl: Riemann-integralens definition och egenskaper. Analysens huvudsats. Metriska rum: Topologi i metriska rum. Funktionsföljder och funktionsserier: Likformig konvergens. Ekvikontinuerliga funktionsfamiljer, Arzelà-Ascolis sats. Stone-Weierstrass sats. Banachs fixpunktsats med tillämpningar. Inversa och implicita funktionssatserna. Rangsatsen.
Undervisning
Föreläsningar och lektioner.
Examination
Skriftligt prov vid kursens slut.
Övriga föreskrifter
Kursen kan inte tillgodoräknas i examen tillsammans med Reell analys (1MA088), 5 hp.
Litteraturlista
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2022, version 2
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2022, version 1
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2019, version 2
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2019, version 1
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2013
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2012, version 2
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2012, version 1