Tidigare matematikseminarier

Våren 2024

Lleonard Rubio y Degrassi

Tisdag 26 Mars, kl. 10:15 i Å4005

On the fundamental group

In this talk, we will introduce the notion of the fundamental group of a topological space. Intuitively, this group measures the 'number of holes' in a given space. The fundamental group has a very interesting property: it is a topological invariant, that is, if two topological spaces are homeomorphic, then their associated fundamental groups will be isomorphic. We will also explore how the fundamental group enables us to prove Brouwer's Fixed Point Theorem. Finally, we will discuss how the notion of fundamental group has been applied in representation theory of finite-dimensional algebras, particularly in relation to finding invariants under various categorical equivalences.

Anna Rodriguez Rasmussen

Fredag 1 Mars, kl. 10:15 i Å4005

Riesz representation theorem

Given a finite-dimensional real vector space, the dual space V* is the vector space consisting of all linear maps from V to R. You might know that in this case, V is isomorphic to V*, and one can construct an isomorphism by fixing a basis and mapping it to the dual basis.

In the infinite-dimensional case, things are much more complicated. First of all, it turns out that all linear functional are usually not a good thing to look at. The reason is that many infinite-dimensional vector spaces that we care about, such as spaces of sequences of real numbers, or spaces of functions from some set into R, come with some additional structure- namely a topology which gives us a way to tell when two vectors are close to each other. Oftentimes one can express this via a norm, a way to measure the length of a vector. Sometimes this norm is given by an inner product. In any of these cases, we only care about maps that do not destroy this notion of closeness- namely, continuous linear maps from V to R.

In the finite-dimensional case, all linear functionals are continuous, so that we didn’t have to worry about this. But in the infinite-dimensional case, this is no longer true. We thus let V* be the space of all continuous linear functionals on V.

The space V* contains a shocking amount of information about our original vector space, and is often very useful. However, to describe V* is usually quite difficult. In contrast to the finite-dimensional case, V* is in general not isomorphic to V , and in fact, can be much more complicated. However, in the case where the norm of V is given by an inner product, and V is complete with respect to this norm, i.e. V is a so-called Hilbert space, the Riesz representation theorem reproduces the result from the finite-dimensional scenario: V is isomorphic to its dual.

Hösten 2023

Christoffer Olsson

Tisdag 28 November, kl 15:15 i Å80101

Ett mönster i ovissheten

Abstract: Den Centrala Gränsvärdessatsen har fått sitt namn av den centrala roll den spelar inom sannolikhetsteorin. I detta seminarium kommer jag att argumentera för att den inte bara är fundamental för sannolikhetsteorin utan även för vetenskap och vår förståelse för världen i stort. På vägen funderar vi över hur vi kan hitta mönster i slumpen, hur vi ibland kan förstå helheten genom att titta på de minsta beståndsdelarna och vilken roll oförutsägbarhet spelar i våra liv.

Isac Hedén

Onsdag 8 November, kl 15:15 i Å2001

Plana algebraiska kurvor

Algebrans fundamentalsats säger att varje komplext polynom i en variabel av grad n ≥ 1 har n nollställen om vi räknar dem med multiplicitet. Bezouts sats för plana algebraiska kurvor är en generalisering av detta resultat.

Målet med föredraget är att formulera Bezouts sats, och för detta behöver vi diskutera algebraiska kurvor (de ges i xy-planet av polynomekvationer p(x,y)=0), skärningstal mellan dessa (en naturlig generalisering av multiplicitet), och det projektiva planet. Det projektiva planet är en utvidgning av det vanliga xy-planet, där vi lagt till vissa punkter "i oändligheten". En konsekvens av utvidgningen är att parallella linjer i xy-planet får en skärningspunkt.

Benjamin Meco

Onsdag 27 September, kl 15:15 i Häggsalen

A brief look at what can be written as a sum of squares

Sums of squares are a topic in mathematics that has interested many mathematicians for a long time, it is a subject where famous names like Fermat, Jacobi, Lagrange and Legendre are all involved in one way or another. We will take a look at some of the highlights, starting with the case of polynomials in one variable we will then briefly touch on the case of more variables and then move on to the integers. We will finish by looking at some generalizations such as Waring's problem.

Våren 2023

Max Raner

Tisdag 22 Maj, kl 15:15 i Å4003

Kernel regression

When we are interested in explaining how some response, e.g. mouse weight depends on some independent variable(s) such as mouse tail length, the classical approach, dating all the way back to Legendre and Gauss in the early 1800's, is to—in the simplest sense—"fit a line to the data". More specifically, we are modelling the conditional expectation of the response, given the independent variables, by limiting the mean value function to be restricted to some linear surface.

This approach has worked well for two hundred years, and will most likely continue to do so for many more. However, with the advent of more computational power, new approaches to estimating the mean value function have become available to us—with some of them requiring fewer restrictions on our model(such as linearity) than the parametric linear regression models of Gauss and Legendre.

We will instead explore the so-called kernel regression approach: a non-parametric regression modelling strategy, requiring only some smoothness assumptions on the regression curve. First we will pose the regression problem, then we take a detour into non-parametric density estimation, before finally returning with the tools needed to formulate the kernel regression model.

Monday 24 april: Darius Dramburg

Måndag 24 April, kl 15:15 i Å2002

Om singulariteter, upplösningar och flat-earthers

Vi vet att jorden inte är platt, och det känns självklart att vi alla vet det. Men att jorden har formen av ett klot var en vetenskaplig upptäckt, och det finns fortfarande människor idag som tror att jorden är platt. Hur kommer det sig?

I det här seminariet kommer vi se att det (delvis) beror på ett geometriskt fenomen, nämligen att jorden saknar singulariteter. Vi kommer först se, med jorden som exempel, vad en singularitet är och definiera singulariteter i språket av algebraisk geometri. Efteråt kommer vi försöka att upplösa en singularitet, och förklara varför man skulle vilja göra det. Vi avslutar med att visa hur det leder rätt till moderna forskningsfrågor inom algebraisk geometri.

Noemi Legout

Måndag 17 April, kl 15:15 i Å4001

Legendrian knots and their algebraic invariants

Legendrian knots are knots satisfying some tangential constraints in the 3-dimensional space equipped with a contact structure. For example, when you skate on a frozen lake, your trajectory follows (the front projection of) a Legendrian. Given two Legendrian knots, it is usually very hard to say if the two are the same or not up to isotopy, i.e. if one can smoothly deform one to the other while keeping the tangential constraints. In order to distinguish and classify Legendrian knots up to Legendrian isotopy, one can associate to them algebraic invariants, which can be very simple to describe (e.g. a number), or more advanced (e.g. a homology theory).

In this talk I will define the mathematical objects introduced above and describe some algebraic invariants of Legendrian knots.

Tuesday 11 april: Lauri Viitasaari

Tisdag 11 April, kl 15:15 i Å2002

On integration with respect to functions

Basic integration theory allows to integrate a function f(x) against the variable x, that can be seen as computation of the integral \int f(x)dg(x), where g(x) = x is the identity function. However, in many applications arising e.g. from physics, economics, or AI to simply name a few examples, one needs to consider integrals against more general function g. In particular, in many situations g is itself rather badly behaving function that does not have derivatives, making integration a difficult problem. Moreover, in many applications the function g is not only bad behaving as a function, but has random features in it.

In this talk I will discuss some recent methods to compute such integrals. The focus will be on intuitive ideas behind different concepts, while all the difficult technicalities will be omitted.

Hösten 2022

Oleksandra Gasanova

Onsdag 7 december, kl 10:15 i Å80101

Conway-Coxeter frieze patterns and their combinatorics

Frieze patterns often occur in architecture and decorative art as infinite strips with repeated patterns. In mathematics, a frieze pattern is a grid of positive numbers consisting of a finite number of infinite rows and satisfying a certain rule. In my talk I will give a definition of a frieze pattern, justify the word "pattern", which is not clear from the definition, and discuss some combinatorial aspects of integer frieze patterns.

Axel Husin

Onsdag 26 oktober, kl. 15.15 i Häggsalen

Perspektiv och projektiv geometri

Många konstnärer känner till att man kan skapa realistiska målningar genom att måla i perspektiv. Under seminariet kommer vi att se delar av den vetenskapliga perspektivläran som utvecklades under renässansen, och relatera den till den mer moderna matematiska teorin om projektiv geometri.

Julian Külshammer

Onsdag 21 september, kl. 15.15 i Häggsalen

Om parenteser, binärträd, och trianguleringar

Att räkna (konkreta eller abstrakta) objekt är en av de mest grundläggande former av matematik. I seminariet kommer vi att upptäcka hur att räkna parentesuttryck, binärträd, eller trianguleringar av polygon leder till samma talsekvens. Denna talsekvens är den förmodligen mest allmänt förekommande talsekvensen i matematik, men vanligtvist ser man den inte i skolan. Jag kommer att avsluta seminariet med att prata om ett speciellt sätt att visa algebraiska identiteter utan att använda formler - bijektiva bevis.

Våren 2022

Carmina Fjellström

Torsdag 19 maj, kl. 13.15 i Å4006

Diffusion maps

Have you ever worked with data that have 100 parameters? What about 1 000? What about 100 000? Working with high-dimensionality data is challenging and computationally expensive. Naturally, the question arises as to whether it is possible to reduce the dimension in such a way as to retain important features and still be able to do meaningful interpretation. This is called dimensionality reduction, and it is the cornerstone of high-dimensional data analysis. Many well-known methods for this include the famous Principal Component Analysis, Multidimensional Scaling, and Isometric Feature Map. In this talk, I will present a technique called Diffusion Maps. It is a nonlinear method based on diffusion processes that learns the underlying manifold upon which the data is embedded. Doing so uncovers possibly hidden geometric properties of the dataset. The technique is claimed to be computationally efficient and robust to noise.

Oliver Petersen

Torsdag 21 april, kl. 10.15 i Å80121

Svarta hål och vågekvationer

De senaste åren har mycket forskning inom astrofysik handlat om svarta hål och deras egenskaper, men faktum är att svarta hål är väldefinierade matematiska objekt. Det är nämligen (differential)geometrin på svarta hål som bestämmer gravitationen och därmed alla underliga egenskaper, som till exempel händelsehorisonten. I föredraget kommer jag att berätta om varför just vågekvationer är så viktiga för att förstå svarta hål och hur långt forskningen om dessa har kommit idag.

Andreas Strömbergsson

Måndag 21 mars, kl. 15.15 i Å4005

Diofantisk approximation

Diofantinsk approximation är ett område inom talteori där man studerar hur pass bra ett reellt tal kan approximeras med rationella tal, och olika generaliseringar i vektorrum och andra geometriska rum. Det finns flera problem inom Diofantinsk approximation som är ganska lätta att formulera men som har visat sig vara mycket svåra att lösa.

Jag kommer att presentera några sådana problem, och några viktiga idéer och konstruktioner som har använts för att attackera dessa.

Shraddha Srivastava

Måndag 7 mars, kl. 8.00 i Å4004

Symmetric functions

Symmetric polynomials in infinitely many variables are called symmetric functions. Usual arithmetic operations: addition and multiplication, of polynomials, give a structure of algebra on the set of symmetric functions. In this talk, I will discuss various examples of symmetric functions including Schur functions. These functions have a deep connection to the representation theory of symmetric groups such that usual addition and multiplication correspond to the direct sum and induction of representations, respectively.

I will also discuss two more algebraic operations, namely, the Kronecker product and the plethysm of Schur functions. The study of these two operations remain elusive except in a few cases.

Hösten 2021

Måns Thulin

Torsdag 2 december, kl. 15.15 i Å4005

Från linjära ekvationer till artificiell (o)intelligens

Djupinlärning – deep learning – och artificiell intelligens är idag bland de hetaste teknikerna bland matematiker och teknikbolag. Jag kommer att berätta om hur metoder som togs fram av Gauss och Laplace lett fram till dagens framsteg inom det här området och förklara hur stora datamängder används för att bygga intelligenta (”intelligenta”?) system. Längs vägen kommer vi stöta på frågor om hur man mäter hur lika två funktioner är, hur man kan veta vilken funktion som bäst beskriver ett samband i den verkliga världen och hur blind tro på matematiska formler riskerar att bidra till att skapa AI-system som diskriminerar och vilseleder.

Alice Hedenlund

Måndag 25 oktober kl. 15.15 i Å4005

Polynomekvationer, Galoisteori och Antika Geometriproblem

Att det går att lösa andragradekvationer med hjälp av pq-formeln har man vetat länge, förmodligen så tidigt som 2000 fKr. Finns det liknande formler för tredje- och fjärdegradsekvationer? Och vad med femtegradsekvationer? Och hur hänger dessa algebraproblem ihop med gamla antika geometriska linjal-passare-problem, exempelvis huruvida det är möjligt att tredela en godtycklig vinkel? I detta föredrag kollar vi på historian bakom dessa frågor samt ger en kort introduktion till gruppteori och Galoisteori som ett sätt att besvara dem.

Anders Israelsson

Måndag 27 september kl 10.15 i Å4005

Partiella differentialekvationer och frekvensuppdelning

Partiella differentialekvationer (PDE) är en typ av differentialekvation där lösningsfunktionen beror på flera variabler. Detta är användbart t.ex. när man vill beskriva en en storhet som beror både på rum och tid. Exempel på det är värme, ljudvågor, ljusvågor eller partiklar med vågegenskaper i kvantmekaniken. Vi kommer att rikta in oss på den s.k. vågekvationen och diskutera hur ett antagande om att funktionen kan delas upp i olika komponenter, associerat till olika frekvenser, kan användas till att lösa den. Detta är en introduktion till kursen Fourieranalys som i sin tur är en introduktion till harmonisk analys, som är ett hett forskningsområde vid Uppsala universitet.

Våren 2021

Elin Persson Westin

Onsdag 19 maj kl 15.15 via Zoom

Diagramalgebror - hur räknar man med diagram!?

Redan i grundskolan lär vi oss att räkna med heltal, rationella tal och reella tal. Vi kan addera dessa, multiplicera och göra massa olika konstruktioner. På universitetet börjar vi istället räkna med andra objekt, som matriser och polynom. Även dessa kan vi addera och multiplicera med varandra.

Det vi ska göra under detta seminarium är att se hur vi kan räkna med en helt annan typ av objekt, nämligen diagram! Vi ska även titta lite på kopplingen mellan Temperley-Liebalgebran, som är ett exempel på en så kallad diagramalgebra, och Pottsmodellen från statistisk mekanik samt Jonespolynomet från knutteori.

Stephan Wagner

Måndag 19 april kl 15.15 via Zoom

Planära grafer och grafminorer

Grafer är matematiska strukturer som består av noder och kanter mellan noder. De kan användas för att modellera många olika typer av nätverk. Ett gammalt problem är att avgöra när det är möjligt att rita en graf på planet på ett sådant sätt att kanterna inte skär varandra. Svaret leder oss till välkvasiordningar och den berömda grafminorsatsen.

Douglas Lundholm

Onsdag 10 mars kl 13.15 via Zoom

Identiska partiklar

Vad vore skillnaden att singla slant om slantarna inte bara vore helt rättvisa, d.v.s. precis likadana, utan t.o.m. logiskt totalt oskiljbara? Inom kvantmekaniken uppför sig faktiskt partiklar precis så, nämligen två elektroner eller två fotoner kan vara totalt oskiljbara och konsekvenserna av detta är minst sagt påtagliga för oss människor. Nämligen får man inte bara den välkända Pauli-principen, periodiska systemet för grundämnena, och snärjning (hoptvinning/entanglement) över tid och rum, utan även vardagsfenomen såsom ledningsegenskaper hos material, koherensen i en laserpekare, och så långt som stabiliteten hos makroskopiska objekt som planeter och stjärnor. En annan potentiell tillämpning är i framtidens kvantdatorer. Bakom fenomenen vilar ett brett spann av matematik såsom logik och identitet, sannolikhetsteori, analys, geometri, topologi, algebra och representationer.

Yuqiong Wang

Torsdag 25 februari kl 13.15 via Zoom.

The grading problem and optimal stopping

In an exam each student needs to solve 40 problems, and the teacher only wants to determine if a student passes or fails. Assuming that the time to correct each problem is the same, how can we finish the grading as fast as possible, while retaining accuracy in grading?

In optimal stopping problems, we consider sequentially observed random variables and determine the optimal time for taking a certain action, in order to maximise the expected gain (or minimise the expected cost). In this talk, we will take a look at the aforementioned grading problem, and use it as an elementary example to discuss the general optimal stopping theory.

Hösten 2020

Anna Sakovich

Torsdag 3 december kl 13.00 via Zoom.

Penrose-olikhet

År 1973 formulerade Penrose ett förmodan om att den totala massan av ett universum som innehåller svarta hål måste vara begränsad underifrån av ett visst uttryck i termer av de svarta hålens ytarea. Ett viktigt speciellt fall av detta förmodan kan omformuleras till ett vackert och utmanande problem inom geometri och analys, den så kallade Penroseolikheten. Vi ska diskutera matematiken bakom detta problem samt ett väldigt fascinerade bevis som gavs i slutet på 90-talet av matematikerna Huisken och Ilmanen baserat på ideer som fysikern Geroch publicerade 1977.

Seidon Alsaody

Torsdag 12 november kl 15.15 via Zoom.

Exceptionell algebra och geometri

Den reella tallinjen är ett endimensionellt talsystem och ger upphov till ett samspel mellan talens algebra och linjens geometri. Det komplexa talplanet utvidgar detta till två dimensioner, där samspelet mellan algebra och geometri redan är mer intressant. Att försöka utvidga detta till högre dimensioner visar sig inte vara helt trivialt. Medan mycket matematik går att utvidga systematiskt till varje dimension, visar det sig att samspelet mellan dessa algebraiska och geometriska egenskaper bara fungerar i dimension 1, 2, 4 och 8. Vad är dessa exceptionella fyra- och åttadimensionella algebror, och vad har de för geometriska egenskaper? Hur är de relaterade till kryssprodukter, rotationer, datorgrafik och håriga bollar? Och vad ger de upphov till för exceptionella symmetrier? Häng med till de trakter av algebran och geometrin som vägrar rätta in sig i led eller fångas av generiska mallar!en

Martin Herschend

Torsdag 24 september kl 15.15 via Zoom

Broar och dominobrickor

Jag kommer att ta upp två problem. Det ena handlar om att promenera över broar och det andra om att lägga dominobrickor på ett schackbräde. Vi kommer att lösa problemen genom att tolka dem grafteoretiskt, vilket i sin tur leder till en generalisering av båda problemen.

Våren 2020

Anders Karlsson

Måndag 4 maj kl 15.15 via Zoom

A+B=C och Fermats stora sats

Likheter mellan hela tal och polynom möter vi redan i skolan, t ex division med rest. Analogin är mycket djupare och mer mystisk än så. Ett sådant exempel är ett visst enkelt men kraftfullt påstående för polynom som upptäcktes på 1980-talet. Motsvarande för de hela talen är (kanske) ännu obevisat. Vi ska ser hur Fermats stora sats (bevisad av Wiles 1995) snabbt följer. Ämnet heltalslösningar till polynomekvationer har varit med mänskligheten i 5000 år. I början var det relevant för byggkonstruktion, typ pyramider, under tusentals år ansågs nog ämnet helt världsfrånvänt, men i våra dagar är det i högsta grad aktuellt för kryptering.

Joel Dahne

Fredag 24 april kl 15.15 via Zoom

Integritet för platsdata

I dagens samhälle samlas stora mängder platsdata in från apparater såsom mobiltelefoner och GPS:er. Denna typ av data har många användningsområden, väldigt aktuellt är att det har används för att bekämpa spridningen av Covid-19 i flera länder. Men den här datan kan också innehålla väldigt privat information som man kanske inte vill dela med sig av. Efter att ha introducerat integritetsproblemen med samlingar av platsdata presenterar vi en metod för att analysera den personliga integriteten hos sådana samlingar och en algoritm för att förbättra den.

Veronica Crispin Quinonez

Onsdag 4 mars kl 15.15 i 2215, ITC

Dimensioner av polynomvektorrum

Modulär aritmetik bekantar vi oss med redan som barn, när vi lär oss klockan (modulo 12) eller hitta veckodag för ett visst datum (modulo 7). En generalisering av den blir ett väldigt effektivt medel för att utvidga talmängder. Då är till exempel Q[x] modulo polynomet (x^2-2) ekvivalent med mängden av de rationella talen "utökad" med roten ur 2.

Nu generaliserar vi ännu mer. Låt S = C[x_1, ..., x_n] vara mängden av alla polynom i variablerna x_1, ..., x_n med koefficienter i C. Från linjär algebra har vi lärt oss att till exempel mängden av alla homogena polynom, dvs sådana där varje term har samma grad, är ett vektorrum över C. Ett klassiskt problem är att undersöka dimensionen av sådana vektorrum. Vi börjar med att hitta den för de vektorrum som bygger upp S och fortsätter sedan för vidare strukturer via modulär aritmetik.

Vi ska dock arbeta väldigt praktiskt med konkreta polynom, som ni känner igen från flervariabelanalys och är vana att arbeta med, samt bara använda räknemetoder från tidigare algebrakurser. Medan vi håller på med våra beräkningar hinner vi kanske upptäcka några mönster så att vi kan förstå Fröbergs förmodan, som formulerades 1985.

Vera Koponen

Torsdag 6 februari kl 15.15 i Å4005

Fullständighet och avgörbarhet

Matematiska resonemang bygger på logiska bevisregler (alternativt logiska axiom) och matematiska axiom. De senare är oftast områdesspecifika, men i princip går det till på samma sätt i alla områden av matematiken. Ett par frågor inställer sig:

A. Är det så att varje (områdesspecifikt) påstående kan bevisas eller motbevisas från (de områdesspecifika) axiomen? Med andra ord, är axiomen fullständiga?

B. Finns det någon algoritm som för varje (områdesspecifikt) påstående kan avgöra (dvs korrekt svara ja/nej) om påståendet kan bevisas från (de områdesspecifika) axiomen? Med andra ord, är problematiken (inom området i fråga) algoritmiskt avgörbar?

Dessa frågeställningar går tillbaka åtminstone till Leibniz (1646-1716). En relaterad fråga är:

C. Givet en samling (områdesspecifika) axiom, är dessa motsägelsefria?

Frågorna fick ny aktualitet i slutet av 1800-talet i samband med arbeten av bl a Cantor, Frege och Russell, och lyftes fram för matematikersamfundet genom Hilberts lista (från 1900 och utvidgad 1902) med 23 (då) olösta problem. De problem som är relaterade till A-C är problem 1 (kontinuumhypotesen), problem 2 (att bevisa aritmetikens motsägelsefrihet) och problem 10 (diofantiska ekvationers avgörbarhet). Alla tre problemen har fått negativa svar i en mening som kan göras precis, genom arbeten av bl a Gödel, Church, Turing, Cohen och Matiyasevich. Mer allmänt så har problemställningarna A-C också fått negativa svar i många andra sammanhang. Detta hindrar oss givetvis inte från att fortsätta att bevisa nya (och intressanta) resultat. Men det säger något om axiomatiska systems begränsningar och om algoritmers/datorers begränsningar. Jag kommer att ge exempel på oavgörbara problem och ofullständiga axiomsystem samt säga något om idéerna bakom resultaten.

Hösten 2019

Jörgen Östensson

Onsdag 11 december kl 15.15 i sal 2245, ITC

Egenvärdesproblem

Många frågeställningar inom såväl den rena matematiken som dess tillämpningar involverar lösandet av egenvärdesproblem. T.ex. är de frekvenser som produceras av en trumma relaterade till egenvärden till Laplaceoperatorn, och tillåtna energinivåer i kvantmekanik utgör egenvärden till den så kallade Schrödingeroperatorn. Jag kommer att ge en kort introduktion till ovanstående mycket fascinerande område.

Anna Sakovich

Onsdag 27 November kl. 15.15-16.00 i sal Å4004

Poincarés förmodan och Ricciflödet

Poincarés förmodan säger följande: Tänk att man har någon slags klump som kan glida ur varje lasso som man binder runt den. Då är klumpen inget annat än en (möjligen kraftigt) deformerad boll. Med andra ord är klumpen inte någon donut där man kan dra repet genom hålet. Hamilton och Perelman bevisade denna förmodan genom att värma upp klumpen, stretcha den och skära den i bitar. Vi ska diskutera matematiken bakom Poincarés förmodan samt Hamilton och Perelmans metod som kallas Ricciflödet.

Rolf Larsson

Måndag 16 September kl 15.15 i sal 2214, ITC

Koldioxidkoncentration i atmosfären vs. global medeltemperatur – En statistisk analys

Jag kommer att ge en överblick över några intressanta tidsserier som beskriver global medeltemperatur och koldioxidkoncentration i atmosfären. Därefter diskuterar jag en tidsseriemodell som kan användas för att testa om det finns något kausalt samband mellan variablerna. På vägen dit tänkte jag säga något kort om statistiska test, regressionsmodeller och tidsseriemodeller.

Våren 2019

Marcus Westerberg

Torsdag 9 Maj kl 15.15 i sal Å4005

Överlevnadsanalys

Överlevnadsanalys är ett spännande område inom matematiken, och som tillämpas i många olika sammanhang så som vid studier om sjukdomar och läkemedel eller när man vill undersöka livslängd hos material och utrustning. I detta föredrag kommer jag gå igenom grundläggande koncept, diskutera ett par modeller och visa på hur man kan använda data för att göra skattningar och dra slutsatser. Sedan tänkte jag avrunda med en diskussion om censurering, konkurrerande risker och odödlighet.

Ryszard Rubinsztein

Torsdag 11 April kl 11.15 i sal Å64119

Homologi

Vi skall definiera kedjekomplex och deras homologi, beskriva dess egenskaper och tillämpa det för att bevisa Brouwers fixpunktssats.

Kaj Nyström

Torsdag 14 Mars kl 9.15 i sal Å4003

Dragkamp och PDE

Slumpvandring formulerad som Brownsk rörelse har tydliga kopplingar till randvärdesproblem för linjära elliptiska och paraboliska partiella differentialekvationer. Mindre känt är att det även finns kopplingar mellan matematiska formuleringar av spel som dragkamp mellan två motparter och teorin för icke-linjära partiella differentialekvationer. I denna föreläsning kommer jag att diskutera dessa samband. Föreläsningen förutsätter inte mer än grundläggande kunskaper i sannolikhetsteori och flervariabelanalys.

Fiona Skerman

Fredag 22 Februari kl 9.15 sal Å4003

Community structure in networks - with an interlude on random graphs

Many data sets can be represented as networks – nodes with edges between them. The aim is to discover and quantify structure in these networks: in particular if a network can be decomposed into dense clusters or ’communities’. In most large scale analysis of networks the communities are extracted by algorithms heuristically searching for a partition with high ’modularity value’ – a scoring system for partitions that I will explain.

To decide whether the community structure in ones network data is meaningful it makes sense to compare your real network data to a random graph. These ’random graphs’ are very nice probabilistic objects so here we have a brief intermission and discuss random graphs and what sort of statements one can prove about a graph drawn at random.

Hösten 2018

Inger Sigstam

Onsdag 12 December kl 10.15 sal 1146 ITC

Hilberts 10:e problem: om algoritmer och diofantiska ekvationer

En diofantisk ekvation är en polynomekvation med heltalskoefficienter för vilken man söker alla heltalslösningar. David Hilbert lämnade vid sekelskiftet 1900 en lista på då olösta problem som han tyckte att matematiker borde arbeta med det kommande århundradet. Det tionde problemet var att undersöka om det finns någon algoritm som givet en diofantisk ekvation (av godtycklig ordning och godtyckligt antal obekanta) kan avgöra om ekvationen har någon lösning. Algoritmen skulle vara allmän, dvs gälla för vilken som helst diofantisk ekvation. I seminariet kommer jag att diskutera algoritmbegreppet, dvs frågan om vad som ska räknas som en beräkningsbar funktion (eller ett avgörbart problem). Därefter ska vi se lösningen på Hilberts tionde problem. Flera matematiker arbetade med problemet, bl a den amerikanska matematikern Julia Robinson och den ryska matematikern Yuri Matijasevich. År 1972 bevisade Matijasevich att någon sådan algoritm inte existerar.

Thomas Kragh

Torsdag 22 november kl 9.15 sal Å2004

Knutar och knutinvarianter

Min plan är att förklara (definiera) följande mera precist (men hinner inte göra det i alla detaljer) och ge exempel: I matematik kan man definiera en knut som "en glatt ögla" i det tredimensionella Euklidiska rummet som inte skär sig själv och som inte "står stilla någonstans" (detta är ett tekniskt men nödvändigt villkor). Man kan också definiera begreppet ekvivalens av knutar genom att säga att två knutar är ekvivalenta om man kan deformera (i 3D-rummet) den ena till den annan. Det visar sig vara väldigt svårt att bestämma om två knutar faktiskt är ekvivalenta, men man kan åtminstone använda så kallade knutinvarianter till att ibland säga att det inte går.

Erik Ekström

Torsdag 18 oktober kl 13.15 sal Å4006

Spel med slumpmässigt antal motståndare

Två personer skriver varsitt tal mellan noll och ett på en lapp, och den som skrivit ned det minsta talet vinner den summan. Vad ska man skriva för tal? Under föredraget ger jag en introduktion till spelteori, samt vidareutvecklar till spel där man inte vet om hur många man spelar mot.

Walter Mazorchuk

Torsdag 27 september kl 15.15 sal Å4006

Kommutativ vs icke-kommutativ

I detta föredrag skulle jag vilja jämföra de matematiska egenskaperna att vara kommutativ eller icke-kommutativ, bland annat med hjälp av ett flertal exempel. Jag planerar också att ta upp hur man kan mäta nivån av icke-kommutativitet och vilka konsekvenser det kan ha för utveckling av olika teorier.

Våren 2018

Jordi-Lluís Figueras

Måndag 14 maj kl 15.15 sal Å2003

Chaos theory

Chaos theory is a very fascinating branch of mathematics that tries to answer questions like: Why can't we give an accurate weather forecast for the next month? The answer is that it is not because we lack of good measurement equipment nor good mathematical models. On the contrary, the models are very well understood: they are chaotic! In this talk I will introduce what chaos theory is and it is not. For example, I will discuss the difference between chaos and randomness.

Prerequisites: An open mind and some first year calculus.

Andreas Rocén

Torsdag 12 april 15.15 i sal Å4003

Kvantkryptering

Kvantinformation är ett ämnesområde där man förenar kvantmekanik och informationsteori. Även om man inte har kommit så långt med att utveckla fysiska kvantdatorer så finns mycket av den underliggande teorin redan klar. I detta seminarium kommer vi gå igenom grunderna för hur man matematiskt beskriver kvantbitar och titta närmare på en tillämpning: kvantkryptering. Om tid finns kommer vi även att introducera ett olöst teoretiskt problem inom området.

Martin Herschend

Onsdag 21 mars kl 10.15 i sal Å2003

Ändliga kroppar med tillämpningar

En mängd utrustad med fyra räkneoperationer: addition, subtraktion, multiplikation och division på så sätt att de vanliga räknereglerna är uppfyllda kallas för en kropp. Exempel på kroppar som vi är vana vid är de rationella talen, de reella talen och de komplexa talen. Men det finns många andra kroppar, till och med sådana som bara har ändligt många element. Det enklaste exemplet är kroppen med två element 0, 1 där räkneoperationerna utförs modulo 2.

Ändliga kroppar kan användas i många tillämpningar. Till exempel kan det användas i kombinatorik för att konstruera latinska kvadrater. Ett annat exempel är felrättande koder. I mitt föredrag kommer jag gå igenom grundläggande egenskaper för kroppar och ta upp några av deras tillämpningarna.

Helena Jonsson

Torsdag 22 februari kl 10.15 i sal Å2003

Ordnade kroppar och irreducibla polynom – Två frågor och ett svar

Summan av två positiva tal är positiv. I detta enkla påstående göms två strukturer: en addition och en ordningsrelation. Varje mängd kan ordnas, men om vi lägger till operationer och vill att ordningsrelationen ska överensstämma med dem blir det svårare. De komplexa talen – som utgör en kropp - kan till exempel inte ordnas. Vi undrar därför vilka kroppar som kan ordnas.

Historiskt sett är polynomekvationer algebrans fundamentala problem. Helst vill vi kunna lösa dem, så en allmän fråga är om ett polynom med koefficienter i en viss kropp har rötter i samma kropp. En kropp där alla polynomekvationer har lösningar, det vill säga där alla irreducibla polynom är linjära, kallas algebraiskt sluten. Vi frågar oss nu, givet en allmän kropp, vilka grader kan de irreducibla polynomen över kroppen ha?

Vi har nu två till synes helt orelaterade frågor om en kropp. Vilka grader har dess irreducibla polynom? Kan den ordnas? När vi försöker besvara dem ser vi dock att de är nära relaterade.

Hösten 2017

Georgios Dimitroglou Rizell

Tisdag 05/12 kl 10.15

Ytor och deras symmetrier

Rum av två dimensioner, så kallade Riemannytor, är grundläggande objekt som uppkommer i många olika matematiska sammanhang. De är t.ex. viktiga byggstenar i rum av högre dimensioner. Vidare så finns det även många icke-triviala frågor som rör förståelsen av ytorna själva, vilka kräver sofistikerad matematik för att förstås.

Vi visar hur man matematiskt beskriver ytor och deras klassifikation, dvs. hur man kan skilja mellan två olika ytor. Sedan ger vi en grundläggande introduktion i hur man kan förstå deras grupper av symmetrier, dvs. avbildningar från ytan till sig själv.

Tony Johansson

Fredag 10/11 kl 10.15

En full människa hittar alltid hem, men en full fågel gör det inte

En mycket full person stapplar runt i Uppsala i hopp om att hitta hem. Vid varje korsning väljer hen en riktning helt slumpmässigt. Vad är sannolikheten att personen hittar hem, och hur lång tid tar det?

Detta är den grundläggande frågan inom studiet av slumpvandringar, ett forskningsområde där sannolikhetsteori, kombinatorik och algoritmanalys möts. I detta seminarium kommer vi definiera de grundläggande koncepten, för att kunna diskutera några intressanta problem inom området.

Bland annat kommer det visa sig att den fulla personen alltid hittar hem förr eller senare, även i en oändlig stad, men att det inte nödvändigtvis är sant för en berusad varelse som rör sig i tre dimensioner. Vi kommer även se en överraskande koppling mellan slumpvandringar och elektriska nätverk.

Ove Ahlman

Onsdag 11/10

Homogena grafer

Mycket av den matematik som man läser på grundnivå uppfanns redan innan 1900-talet började. En vanlig fråga jag får som forskare är därför hur man forskar i abstrakt matematik och vad man forskar på nu för tiden. I det här föredraget kommer vi att titta på en sats som publicerats i en matematisk tidskrift i år. Resultatet är en klassifikation av de uppräkneligt oändliga >k-homogena graferna.

Erik Thörnblad

Måndag 25/09

Tjuv och polis

Det populära brädspelet Tjuv och polis kom ut på 40-talet, och här gäller det för polisen att fånga tjuvarna (och för tjuvarna att undkomma polisen). Spelet kan ses som ett slags nätverkssökningproblem, där det gäller för någon att så effektivt som möjligt söka igenom ett nätverk efter en inkräktare. Sedan 70-talet har matematiker intresserat sig för olika grafteoretiska varianter av spelet. Vi kommer prata om några av dessa och fundera på vilka spelregler och vilka spelplaner som garanterar att polisen kan vinna, och om det finns en optimal strategi.

Våren 2017

David Sumpter

Onsdag 03/05

Kan jag vinna pengar på bettingssidor med hjälp av matematik?

I 2015 bestämde jag att se om jag kunde tjäna pengar på betting med användning av matematik. Jag satt några regler för mig själv. (1) Jag använde ett startkapital på 500 pund. (2) Jag utvecklade modeller i förväg baserat på data från matcher och spelbolagens odds och använde sedan dessa modeller till att göra prognoser. (3) Jag bygde alla modeller från grunden, med hjälp av den sorts matematik och statistik som lärs ut i grundläggande universitetskurser i ekonomi och fysik t.ex. på tekniska högskolor. (4) Jag använde mig bara av data som är lättillgänglig på nätet. Frågan var om jag över en tvåmånadersperiod kunde tjäna pengar. Kom till föreläsningen och hör hur det gick för mig.

Gunnar Berg

Måndag 10/04

Vad är ett algebraiskt heltal?

När man studerar problem inom talteorin, till exempel diofantiska ekvationer, så dyker tal som kan göra anspråk på att kallas algebraiska heltal upp. Man tvingas då fundera över hur en lämplig definition av dem bör se ut och i vilken utsträckning de har egenskaper som motsvarar de vi finner hos de vanliga heltalen. Jag tänker ge en kort och anspråkslös introduktion till dessa frågeställningar som visar sig ha förgreningar i de mest abstrakta och esoteriska riktningarna inom den moderna matematiken.

Svante Janson

Tisdag 07/03

Slumpmässiga nätverk

Slumpmässiga nätverk, eller slumpgrafer, är matematiska strukturer som består av ett (stort) antal noder och länkar, där varje länk förbinder två noder. De konstrueras slumpmässigt på något sätt, och det finns en hel del olika intressanta sätt att konstruera slumpmässiga nätverk med olika egenskaper.

Slumpmässiga nätverk har många intressanta matematiska egenskaper, och jag kommer att tala om några av dessa. Slumpmässiga nätverk har också många tillämpningar inom andra vetenskaper (t.ex. för att beskriva smittspridning, sociala kontakter, social nätverk, Internet, ...); jag kommer att säga lite om detta också.

Konstantinos Tsougkas

Onsdag 15/02

Self-similar fractals and their dimension

In recent years significant focus has been given to the study of fractal geometry and related areas. In this talk we will give a brief introduction to fractals, self-similarity and the concept of dimension. No prerequisites beyond basic calculus will be assumed.

Hösten 2016

Erik Thörnblad

Måndag 05/12

Fyrfärgssatsen

Vilket är det minsta antalet färger som krävs för att färglägga en karta, så att inga två länder som delar gräns får samma färg? Denna fråga lyftes på 1850-talet och det tog över ett århundrade innan Appel och Haken visade att det räcker med fyra färger. Deras bevis var ett av de första som var helt beroende av datorberäkningar. I detta föredrag kommer jag att presentera problemets historik från 1850 till idag.

Linnéa Gyllingberg

Tisdag 08/11

Spelteori – eller varför stans alla falafelvagnar står bredvid varandra

I det här seminariet försöker jag med hjälp av spelteori besvara frågan om varför stans alla falafelvagnar står bredvid varandra. Spelteori är en matematisk gren som uppkom på 1940-talet för att beskriva ekonomiskt beteende, men har senare använts inom vitt skilda områden såsom statsvetenskap, filosofi och datavetenskap. På 1970-talet utvecklades evolutionär spelteori för att förstå evolutionsteorin i matematiska termer. Jag kommer att presentera några viktiga spelteoretiska koncept och bland annat prata om hur de kan användas för att besvara varför stans alla falafelvagnar står bredvid varandra och hur dessa koncept används inom evolutionsbiologin idag.

Jordi-Lluís Figueras

Torsdag 12/10 kl 10.15 Å2001

Dragons and Mathematics

When I was a highschool student one of my math teachers told me: Learning Mathematics resembles learning how to kill dragons. During the degree one learns all types of species, their weakness, strenghts, all sort of weapons to fight them... Then, after finishing the studies, one realizes that dragons do not exist. So, the only thing left to do about them is to teach others how to kill dragons.

In this talk I want to give an overview of important and REAL results that one learns during the degree.

I hope to convince all you that, if we are learning how to kill dragons, at least they do exist!

Ketil Tveiten

Onsdag 28/09 kl 10.15 Å2003

När är olika ting lika?

Matematik handlar inte egentligen om tal, formler och beräkning, utan om att avgöra huruvida två till synes olika ting egentligen är lika. Jag kommer illustrera detta med några exempel från geometrin.

Våren 2016

Rolf Larsson

Torsdag 12/05 kl 10.15 i sal Å4003

Statistisk analys av klimatdata.

Finns den globala uppvärmningen? Om ja, finns det någon mänskliga påverkan, och hur stor är den i så fall? Hur kommer den globala uppvärmningen att påverka oss i framtiden?

Under detta seminarium tänkte jag diskutera hur man kan använda matematisk statistik inom klimatforskning. Målet är att kunna svara på frågor av samma typ som ovan. Vi kommer att titta på några klimatserier, t.ex. över temperatur med olika årsspann. När man ser på dessa visar det sig att den globala medeltemperaturen inte alltid har ökat. I själva verket har den fluktuerat upp och ner både kraftigt och tämligen oregelbundet genom historien.

Jag kommer att berätta lite om några statistiska metoder och modeller för att analysera några av dessa klimatserier, samt vilka slutsatser man kan komma fram till.

Vera Koponen

Torsdag 07/04 kl 10.15 i sal Å4003

Fullständighet och avgörbarhet

A. Är det så att varje (områdesspecifikt) påstående kan bevisas eller motbevisas från (de områdesspecifika) axiomen? Med andra ord, är axiomen fullständiga?

Dessa frågeställningar går tillbaka åtminstone till Leibniz (1646-1716). En relaterad fråga är:

C. Givet en samling (områdesspecifika) axiom, är dessa motsägelsefria?

Magnus Jacobsson

Torsdag 25/02 kl 10.15 i sal Å4003

Om ordningsföljd

Frågan om huruvida ordningen mellan två processer spelar roll för resultatet eller inte (kommutativitet) verkar vara en universell matematisk tankefigur. Jag tänker diskutera detta utgående från ett antal exempel från vitt skilda matematiska områden.

Anders Karlsson

Tisdag 26/01 kl 10.15 i sal Å4003

Zeta funktioner, primtal och Riemann hypotesen.

Idén att skapa funktioner av talserier man vill studera kallas ibland för metoden med genererande funktioner. Inom talteorin kallas sådan funktioner ofta för zeta funktioner och metoden är förvånansvärt kraftfull. Beviset av Fermats stora sats är bara ett exempel. Zeta funktioner förekommer också inom teoretisk fysik. Av en mängd tal, t ex primtalen, skapar man en zeta funktion och denna visar sig sedan ha gömda symmetrier, i primtalsfallet uppstår en anmärkningsvärd reflektionssymmetri: zeta funktionen Z(s) är relaterad till Z(1-s). Den obevisade Riemann hypotesen, som räknas bland de absolut viktigaste forskningsproblemen, angår nollställena till Z(s) och förutspår att primtalen ser slumpmässigt fördelade ut. På ett exakt analogt sätt kan man definiera zeta funktioner för grafer och i en viss sekvens av grafer, är en förmodad asymptotisk reflektionssymmetri ekvivalent med Riemann-hypotesen.